Graph Dan Matrik penyajian Draph

GRAPH DAN MATRIK PENYAJIAN GRAPH

GRAPH

Suatu Graph mengandung 2 himpunan, yaitu :

1. Himpunan V yang elemennya disebut simpul (Vertex atau Point atau Node atau Titik)

2. Himpunan E yang merupakan pasangan tak urut dari simpul. Anggotanya disebut Ruas (Edge atau rusuk atau sisi)

Graph seperti dimaksud diatas, ditulis sebagai G(E,V).

Banyak simpul (vertex) disebut Order, sedangkan banyaknya ruas (edge) disebut Size dari Graph.

Contoh :

Gambar berikut menanyakan Graph G(E,V) dengan :

1. V mengandung 4 simpul, yaitu simpul A,B,C,D.

2. E mengandung 5 ruas, yaitu :

Gambar dibawah ini menyatakan suatu Multigraph. Disini, ruas e2 pada kedua titik ujungnya adalah simpul yang sama, yaitu simpul A. Ruas semacam ini disebut Gelung atau Self-Loop. Sedangkan ruas e5 dan e6 mempunyai titik ujung yang sama, yaitu simpul-simpul B dan C. Kedua ruas ini disebut ruas berganda atau ruas sejajar.

Suatu Graph yang tidak mengandung ruas sejajar maupun self-loop, sering disebut juga sebagai Graph sederhana atau simple Graph.

Suatu Graph G’(E’,V’) disebut Sub Graph dari G(E,V), bila E’ himpunan bagian dari E dan V’ himpunan bagian dari V.

Jika E’ mengandung semua ruas dari E yang titik ujungnya di V’, maka G’ disebut Subgraph yang direntang oleh V’ (Spanning Subgraph).

Contoh Sub Graph:

G' Subgraph dari G'

(namun bukan dibentuk oleh V'={A,B,D})

Contoh Spanning Sub Graph :

G' Subgraph yang dibentuk oleh V'={A,B,}

GRAPH BERLABEL

Graph G disebut berlabel jika ruas dan atau simpulnya dikaitkan dengan suatu besaran tertentu. Khususnya jika setiap Ruas e dari G dikaitkan dengan suatu bilangan non negatif d(e), maka d(e) disebut bobot atau panjang dari ruas e.

Contoh :

Gambar berikut ini menyajikan hubungan antar kota. Disini simpul menyatakan kota dan label d(e) menyatakan jarak antara dua kota.

DERAJAT GRAPH

Derajat simpul V, ditulis d(v) adalah banyaknya ruas yang menghubungi v. Karena setiap ruas dihitung dua kali ketika menentukan derajat suatu Graph, maka :

Jumlah derajat semua simpul suatu Graph (derajat) = dua kali banyaknya ruas Graph (Size) Atau dapat dituliskan :

Pada gambar disamping Jumlah Semua Simpul = 4, maka

Jumlah Derajat Semua Simpul = 8

Jika Derajat masing-masing simpul pada Graph berjumlah

Genap maka Graph tersebut disebut EULER Gr aph.

Suatu simpul disebut genap/ganjil tergantung apakah derajat simpul tersebut genap/ganjil.

Kalau terdapat self-loop, maka dihitung 2 kali pada derajat simpul.

Contoh :

Pada gambar diatas, banyak ruas/size = 7, sedangkan derajat masing-masing simpul adalah :

d(A) = 2

d(B) = 5

d(C) = 3

d(D) = 3

d(E) = 1

d(F) = 0

maka, total jumlah derajat simpul adalah : 14 E disebut simpul bergantung/akhir, yaitu simpul yang

berderajat satu. Sedangkan F disebut simpul terpencil, yaitu simpul yang berderajat Nol.

KETERHUBUNGAN

Walk atau perjalanan dalam Graph G adalah barisan simpul dan ruas berganti-ganti : V1,e1,V2,e2,......., e n-1, Vn Disini ruas ei menghubungkan simpul Vi dan Vi+1.

Banyaknya ruas disebut Panjang Walk. Walk dapat ditulis lebih singkat dengan hanya menulis deretan ruas :

e1,e2, ...., en-1 atau deretan simpul : V1, V2,....., Vn-1, Vn dimana : V1 = simpul awal Vn = simpul akhir.

Walk disebut tertutup bila V1 = Vn

1. Walk disebut tertutup, yg menghubungkan V1 dan Vn, yaitu setiap ruas menghubungkan simpul awal dan akhir.

2. Trail adalah Walk dengan semua ruas dalam barisan adalah berbeda.

3. Path atau Jalur adalah Walk yang semua simpul dalam barisan adalah berbeda. Jadi suatu Path pastilah sebuah Trail.

Graph merupakan Walk Terbuka, karena tidak ada ruas

yang menghubungkan Simpul U dan T.

Merupakan suatu Path atau Trail terbuka dengan

derajat setiap simpulnya = 2, kecuali simpul awal U dan

simpul akhir T berderajat = 1.

1.Cycle atau sirkuit adalah suatu Trail yang tertutup dengan setiap simpul = 2 Cycle dengan panjang k disebut dengan k-cycle. Demikia pula jalur dengan panjang k disebut k-jalur.

Contoh :

>Barisan ruas a,b,c,d,b,c,g,h adalah Walk bukan Trail (karena ruas b dua kali muncul).

>Barisan simpul A, B, E, F bukan Walk (karena tdk ada ruas yang menghubungkan simpul B ke F).

>Barisan simpul A, B, C, D, E, C, F adalah Trail bukan Jalur/Path (karena c dua kali muncul)

>Barisan ruas a, d, g, k adalah Jalur/Path karena menghubungkan A dengan F

>Ruas a, b, h, g, e, a, adalah Cycle.

Graph yang tidak mengandung Cycle disebut Acyclic.

Contoh dari Graph Acyclic adalah pohon atau Tree.

Contoh dari acyclic

Suatu Graph G disebut terhubung jika untuk setiap 2 simpul Graph terhadap jalur yang mengubungkan 2 simpul tersebut.

Subgraph yang terhubung pada suatu Graph disebut komponen dari G bila Subgraph tersebut tidak terkandung dalam Subgraph terhubung lain yang lebih besar.

Contoh :

Terlihat misalnya antara D dan A Tak ada jalur.

GRAPH TERARAH (DIRECTED GRAPH / DIGRAPH)

Graph terarah adalah Graph yang dapat menghubungkan V1 ke V2 saja (1 arah).

Maksimum jumlah busur dari n simpul adalah : n ( n - 1)

Suatu Graph Berarah (Directed Graph) D terdiri atas 2 himpunan :

1) Himpunan V, anggotanya disebut simpul.

2) Himpunan A, merupakan himpunan pasangan terurut,

yang disebut ruas berarah atau arkus.

Contoh, Gambar dibawah ini adalah sebuah Graph

Berarah D(V,A) dengan :

1. V mengandung 4 simpul, yaitu 1, 2, 3 dan 4

2. A mengandung 7 arkus, yaitu (1,4) ,(2,1), (2,1), (4,2), (2,3), (4,3) dan (2)

Arkus (2,2) disebut gelung (self-loop), sedangkan arkus (2,1) muncul lebih dari satu kali, disebut

arkus sejajar atau arkus berganda.

Bila arkus suatu Graph Berarah menyatakan suatu bobot, maka Graph Berarah tersebut dinamakan jaringan / Network. Biasanya digunakan untuk menggambarkan

situasi dinamis.

Bila V’ himpunan bagian dari V serta A’ himpunan bagian dari A, dengan titik ujung anggota A’ terletak di dalam V’, maka dikatakan bahwa D’(V’,A’) adalah Graph bagian

(Subgraph) dari D(V,A).

Bila A’ mengandung semua arkus anggota A yang titik ujungnya anggota V’, maka dikatakan bahwa D’(V’,A’) adalah Graph Bagian yang dibentuk atau dirent tang oleh V'.

GRAPH TAK TERARAH (UNDIRECTED GRAPH)

Graph Tak Terarah adalah Graph yang menghubungkan 2 verteks V1 dan V2 dan V2 ke V1 (2 arah) mempunyai busur edge sama dengan :

CRITICAL PATH

Menggunakan Graph berbobot dan Mempunyai Arah

Simpul asal : 1

Simpul Tujuan : 5

Diproleh : Critical Path (Lintasan Kritis) = 29

Shortest Path (Lintasan Terpendek) = 15

MINIMUM SPANNING TREE

Merupakan Spanning Tree yang mempunyai Bobot dan tidak mempunyai arah dengan hasil penjumlahan bobotnya adalah minimum.

Lihat gambar Graph G berikut :

Langkah yang dilakukan untuk membentuk minimum spanning tree adalah :

Bentuk kembali semua simpul tetapi tanpa ruas.

Gambar dan telusuri ruas dengan bobot paling kecil, seterusnya (secara ascending) hingga semua simpul terhubung

Total Minimum

Spanning Tree = 22

PENULISAN GRAPH

Dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu :

1.Depth First Search (DFS)

2.Breadth First Search (BFS)

1.Depth First Search (DFS)

Penelusuran dengan DFS pada Graph Tak Berarah dengan melakukan pengecekan pada Node dengan kedalaman pertaman dari Node yang ditinjau.

2. Breadth First Search (BFS)

Berbeda dengan cara BFS, dengan BFS penelusuran akan diawasi dari Node-1, kemudian melebar pada Adjacent Node dari Node-1 dan diteruskan pada Node-2, Node- 3 dan seterusnya.